Luogu P1373 小a和uim之大逃离:dp【双变量化单变量】

传送门

题目

题目背景

小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来,一片乌云从北部天边急涌过来,还伴着一道道闪电,一阵阵雷声。刹那间,狂风大作,乌云布满了天空,紧接着豆大的雨点从天空中打落下来,只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物,低沉着声音说:“呵呵,既然你们来到这,只能活下来一个!”。小a和他的小伙伴都惊呆了!

题目描述

瞬间,地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵,矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶,说道,你们可以从矩阵的任一个格子开始,每次向右或向下走一步,从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液,下一步由uim吸收,如此交替下去,并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量,也就是说,如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零,如果装了k+2就只剩下1,依次类推。怪物还说道,最后谁的魔瓶装的魔液多,谁就能活下来。小a和uim感情深厚,情同手足,怎能忍心让小伙伴离自己而去呢?沉默片刻,小a灵机一动,如果他俩的魔瓶中魔液一样多,不就都能活下来了吗?小a和他的小伙伴都笑呆了!

现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。

输入格式

第一行,三个空格隔开的整数n,m,k

接下来n行,m列,表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。

输出格式

一个整数,表示方法数。由于可能很大,输出对1 000 000 007取余后的结果。

说明/提示

【题目来源】

lzn改编

【样例解释】

样例解释:四种方案是:(1,1)->(1,2),(1,1)->(2,1),(1,2)->(2,2),(2,1)->(2,2)。

【数据范围】

对于20%的数据,n,m<=10,k<=2

对于50%的数据,n,m<=100,k<=5

对于100%的数据,n,m<=800,1<=k<=15

题解

简单起见,设小a和uim的魔液量分别为 au

然后可以观察出一个结论:u 增加等价于 a 减少且 u 不变,u 减少等价于 a 增加且 u 不变,这样就把 au 的同时变化转化成了只有 a 在变化

然后就可以开始dp了

f[i][j][t][0/1] 表示走到了 (i,j) 处且这里的魔液已经吸完,at(在模k + 1意义下),0和1分别表示这一次是小a还是uim吸的,此时的方案数

初始值是什么?对于每一个格子而言,如果把它当做出发点,有 f[i][j][w[i][j] \% (k+1)][0] = 1,即为初始值

对于每一个状态,可以从它的左边或上边的相应状态转移而来。0只能从1转移而来,1也只能从0转移而来

K = k + 1,转移为:
f[i][j][t][0] = f[i - 1][j][(t - w[i][j] + K) \% K][1] + f[i][j - 1][(t - w[i][j] + K) \% K][1]
这一步是小a吸的,吸了 w[i][j],所以上一步 at - w[i][j],由于是在模K意义下的,且 t - w[i][j] 可能为负,所以要加K模K处理一下
f[i][j][t][1] = f[i - 1][j][(t + w[i][j]) \% K][0] + f[i][j - 1][(t + w[i][j]) \% K][0]
这一步是uim吸的,吸了 w[i][j],等价于让 a 减少了 w[i][j],所以上一步 a = t + w[i][j],由于这里不可能为负数,所以直接模K就好

dp完了,那统计答案呢?我们要的是对于每个位置,a = 0 ,且最后一步是uim走的,这样的所有状态的方案数之和:
ans = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f[i][j][0][1]

Code

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 805
#define MAX_K 20
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int n, m, K, ans = 0;
int w[MAX_N][MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N][MAX_K][2];

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            scanf("%d", &w[i][j]);
        }
    }
    K++;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j][w[i][j] % K][0] = 1;
            for (int k = 0; k < K; k++) {
                f[i][j][k][0] = (f[i][j][k][0] + f[i - 1][j][(k - w[i][j] + K) % K][1]) % MOD;
                f[i][j][k][0] = (f[i][j][k][0] + f[i][j - 1][(k - w[i][j] + K) % K][1]) % MOD;
                f[i][j][k][1] = (f[i][j][k][1] + f[i - 1][j][(k + w[i][j]) % K][0]) % MOD;
                f[i][j][k][1] = (f[i][j][k][1] + f[i][j - 1][(k + w[i][j]) % K][0]) % MOD;
            }
            ans = (ans + f[i][j][0][1]) % MOD;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
}
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